RELATIVIDADE SDCTIE GRACELI EM Processo de Poisson

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia

[comprimento de onda (λ).

\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda

onde c, velocidade da luz, é igual a

f\lambda

TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
x
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l

N l   El             tf l

P l   Ml           tfefel

Ta l   Rl

         Ll

D

O processo de Poisson, no contexto da probabilidade e da estatística, é um tipo de objeto matemático que lida com a aleatoriedade e que consiste numa série de pontos dispostos no espaço matemático.^[1] Esse processo conta com propriedades matemáticas convenientes,^[2] fato que o levou a ser frequentemente definido no espaço euclidiano e utilizado como modelo matemático aparentemente para processos aleatórios em várias disciplinas, tais como astronomia,^[3] biologia,^[4] ecologia,^[5] geologia,^[6] física,^[7] processamento de imagem^[8] e telecomunicações.^[9]^[10]

O processo de Poisson é ainda frequentemente definido na reta real. Na teoria das filas,^[11] por exemplo, ele é utilizado para modelar eventos aleatórios, como a chegada de clientes em uma loja, distribuída no tempo. No plano geométrico, o processo de ponto é também conhecido como processo de Poisson espacial,^[12] e também pode representar objetos espalhados, como transmissores em uma rede sem fio,^[9]^[13]^[14]^[15] partículas colidindo dentro de um detector, ou mesmo árvores em uma floresta.^[1] Nesses cenários, o processo é frequentemente usado em modelos matemáticos e nas áreas afins de processos de ponto espaciais,^[12]^[16] geometria estocástica,^[1] análise espacial ^[12]^[17] e da teoria da percolação contínua.^[18] No caso de espaços mais abstratos, o processo de ponto de Poisson serve como um objeto de estudo matemático em seu próprio direito.^[2]

Em todas as situações, o processo de Poisson tem a propriedade de que cada ponto é estocasticamente independente para todos os outros pontos do processo, e é por isso que às vezes ele é chamado de um processo puramente aleatório.^[16] Apesar de sua ampla utilização como um modelo estocástico de fenômenos representáveis através de pontos, a natureza inerente do processo implica que ele não descreve adequadamente os fenômenos em que a interação entre os pontos não é suficientemente forte. Isso tem levado por vezes ao uso excessivo do processo de ponto em modelos matemáticos,^[1]^[2]^[13] e inspirou outros processos de ponto, alguns das quais são construídos através do processo de Poisson, buscando capturar essa interação.^[1]

O processo de Poisson recebeu tal nome em referência ao matemático francês Siméon Denis Poisson, uma vez que, se um conjunto de pontos aleatórios num espaço formam um processo de Poisson, então o número de pontos em uma região de tamanho finito está diretamente relacionada com a distribuição de Poisson, muito embora o próprio Poisson nunca tenha estudado o processo em si; os estudos do processo surgiram em diversos contextos posteriores distintos.^[16]^[19]^[20] O processo é definido com um único objeto matemático de valor não-negativo, fato que, dependendo do contexto, pode ser uma constante, uma função integrável ou ainda, em contextos mais gerais, uma medida de Radon.^[1]^[16] Se tal objeto é uma constante, então o processo resultante é chamado de homogêneo ^[2] ou processo de Poisson estacionário.^[1] Caso contrário, o parâmetro depende da sua localização no espaço subjacente, o que leva a um processo de Poisson não-homogêneo.^[16] Ainda que por vezes referenciado como "processo de ponto de Poisson", a palavra "ponto" é frequentemente omitida, embora existam outros processos de Poisson de objetos, os quais, em vez de pontos, consistem de mais complicado objetos matemáticos tais como linhas e polígonos, e tais processos também podem basear-se no processo de Poisson.^[2]

História[editar | editar código-fonte]

Distribuição de Poisson[editar | editar código-fonte]

Apesar do nome, o "processo de Poisson" não foi descoberto pelo matemático francês Siméon Denis Poisson, e seu caso costuma ser citado como um exemplo da Lei de Stigler.^[19]^[20] Seu nome deriva no entanto da sua relação com a distribuição de Poisson, derivado por Poisson como um caso limite do distribuição binomial,^[21] que descreve a probabilidade da somatória

\textstyle n

ensaios de Bernoulli, muitas vezes comparado com o número de "caras"(ou "coroas"), após

\textstyle n

com base num jogo de cara ou coroa, no qual a possibilidade de sair um ou outro é

\textstyle p

. Para algumas constantes positivas

\textstyle \Lambda >0

, tais como

\textstyle n

aumenta para o infinito e

\textstyle p

diminui para zero de modo a que o produto

\textstyle np=\Lambda

é fixado, a distribuição de Poisson se aproxima do binômio.^[22] Poisson deriva da distribuição de Poisson, publicada em 1841, pelo exame da distribuição binomial no limite de

\textstyle p

(tende a zero) e

\textstyle n

(ao infinito). Ele só aparece uma vez em toda a obra de Poisson,^[23] e o resultado não foi reconhecido em seu tempo,^[16] muito embora ao longo dos anos seguintes outras pessoas que usaram a distribuição sem citar Poisson, nomes que incluem Philipp Ludwig von Seidel e Ernst Abbe.^[16]^[19] A distribuição seria estudada anos depois de Poisson no final do século XIX em uma configuração diferente, Ladislaus Bortkiewicz citou Poisson e usou a distribuição com dados reais para estudar o número de mortes por coices de cavalo no exército prussiano.^[21]^[24]

Descoberta[editar | editar código-fonte]

Há uma série de reivindicações para os primeiros usos ou descobertas do processo de Poisson.^[19]^[20] Foi proposto que o uso mais antigo do processo de Poisson foi feito por John Michell em 1767, uma década antes do nascimento de Poisson. Michell estava interessado na probabilidade de uma estrela estar situada numa determinada região de outra estrela, supondo que as estrelas estavam "espalhados por mero acaso", e estudou um exemplo consistindo de seis estrelas mais brilhantes no Plêiades, sem derivar a distribuição de Poisson. Esse trabalho inspirou Simon Newcomb a estudar o problema e a calcular a distribuição de Poisson como uma aproximação para a distribuição binomial.^[20]

No início do século XX o processo de ponto de Poisson surgiria de forma independente, durante o mesmo período, em três situações diferentes.^[19]^[22] Em 1909, o matemático dinamarquês e engenheiro A.K. Erlang derivada a distribuição de Poisson no desenvolvimento de um modelo matemático para o número telefonemas recebidos num determinado intervalo de tempo finito. Erlang, que não estava ciente do trabalho anterior de Poisson, assumiu que o número de telefonemas que chegam em cada intervalo de tempo era independente um do outro e, em seguida, encontrou o caso limite, que é efetivamente uma reformulação da distribuição de Poisson como um limite do binômio distribuição.^[19] Em 1910, os físicos Ernest Rutherford e Hans Geiger, após a realização de um experimento na contagem do número de partículas alfa, publicaram seus resultados no qual o matemático inglês Harry Bateman deriva as probabilidades de Poisson como uma solução para uma família de equações diferenciais, embora Bateman reconheceu que as soluções já tinha sido resolvido por outros.^[16] Este trabalho experimental de autoria de Rutherford e Geiger inspirou o físico Norman Campbell, que em 1909 e 1910 publicou dois artigos importantes sobre "thermionic noise", também conhecido como "ruído de disparo", em tubos de vácuo,^[16]^[19] onde acredita-se que ele teria descoberto de forma independente e usado o processo de Poisson.^[22] No trabalho de Campbell, ele também delineou uma forma do teorema de Campbell,^[19] um resultado fundamental na teoria de processos de ponto,^[2]^[12]^[16] mas Campbell creditou a prova ao matemático G. H. Hardy.^[19] As três descobertas e aplicações do processo de Poisson acima têm motivado algumas pessoas a acreditar que o ano de 1909 deve ser considerado o ano de descoberta do processo de Poisson.^[19]^[22]

Primeiras aplicações[editar | editar código-fonte]

Após 1909 houve uma série de estudos e aplicações do processo de Poisson. Contudo, o desenvolvimento dessa história é complexo devido às diferentes aplicações do processo em numerosos campos por biólogos, ecologistas, engenheiros e outros profissionais que trabalham no campo das ciências naturais e física. Os primeiros resultados foram publicados em diferentes idiomas e em diferentes contextos, sem utilizar, entretanto, uma terminologia padronizada.^[19] Em 1922, por exemplo, um químico sueco e ganhador do prêmio Nobel chamado Theodor Svedberg propôs um modelo em que um processo de Poisson espacial é um processo subjacente, no intuito de estudar como plantas individuais são distribuídas em comunidades vegetais.^[25] Outro exemplo pode ser dado pelos matemáticos que começaram a estudar o processo no início de 1930, e as contribuições importantes foram feitas por Andrei Kolmogorov, William Feller e Aleksandr Khinchin,^[19] entre outros.^[26] Como aplicação, Kolmogorov usou um processo espacial de Poisson para modelar a formação de cristais em metais.^[1] Já no campo da engenharia de teletráfego, contexto no qual vários pioneiros da pesquisa foram dinamarqueses, como Erlang, e suecos, matemáticos e estatísticos estudados e utilizados de Poisson e outros processos de ponto.^[27]

História do termo[editar | editar código-fonte]

O engenheiro sueco Conny Palma, estudou em sua dissertação de 1943 tanto o processo de Poisson quanto outros processos de ponto no cenário unidimensional, examinando-os em termos de suas dependências estatísticas ou estocásticas entre os pontos no tempo.^[16]^[27] Em sua obra existe o primeiro registro conhecido do termo "processo de ponto" como "Punktprozesse", termo em alemão.^[16]^[20]

Supõe-se que William Feller,^[19] que também popularizou o termo variável aleatória ao invés do termo "chance variável", tirando a sorte com por meio de uma moeda com Joseph Doob, foi o primeiro utilizar na imprensa termo "processo de Poisson" no ano de 1940. Embora o estatístico sueco Ove Lundberg tenha utilizado o mesmo termo em sua dissertação de doutoramento também em 1940,^[20] na qual Feller foi reconhecido como uma influência,^[28] afirma-se que Feller cunhou o termo antes de 1940.^[22] Observa-se ainda que tanto Feller quanto Lundberg usaram o termo como se fosse algo bem conhecido, o que implica que já estava em uso falada.^[20] Feller trabalhou de 1936 a 1939 ao lado matemático sueco e estatístico Harald Cramér na Universidade de Estocolmo, onde Lundberg foi um estudante orientado por Cramér, que não usava o termo "processo de Poisson" em seu livro, terminado em 1936, mas o fez em edições posteriores, fato que levou à especulação de que o o termo foi cunhado em algum momento entre 1936 e 1939 na Universidade de Estocolmo.^[20]

Visão geral de definições[editar | editar código-fonte]

O processo de ponto de Poisson é um dos processos de ponto mais estudados, tanto no campo da probabilidade quanto em disciplinas mais relativas ao fenômeno do aleatório,^[16] devido às suas propriedades convenientes como modelo matemático, bem como ser matematicamente interessante.^[2] Dependendo da configuração, tal processo tem várias definições equivalentes,^[29] bem como definições de diferentes generalidades devido às suas muitas aplicações e caracterizações.^[16] Ele pode ser definido, estudado e utilizado numa dimensão (na linha real) onde pode ser interpretado como um processo de contagem ou parte de um modelo de filas;^[29]^[30] em dimensões superiores, como o plano onde ele desempenha um papel na geometria estocástica e estatística espacial;^[1]^[31] ou em espaços matemáticos mais abstratos.^[32] Por conseguinte, a notação, a terminologia e o nível de rigor matemático usados para definir e estudar o processo de Poisson e os processos de ponto em geral variam de acordo com o contexto.^[1]^[16] Apesar de suas diferentes formas e variando generalidade, o processo de ponto de Poisson tem duas propriedades importantes.

Primeira propriedade: Distribuição do número de pontos[editar | editar código-fonte]

O processo de ponto de Poisson está relacionado com a distribuição de Poisson, o que implica que a probabilidade de uma variável aleatória

\textstyle N

é igual a

\textstyle n

e é dada por:

P\{N=n\}={\frac {\Lambda ^{n}}{n!}}e^{-\Lambda }

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

na qual

\textstyle n!

denota

\textstyle n

fatorial e

\textstyle \Lambda

é o único parâmetro Poisson que é utilizado para definir uma distribuição Poisson. Se um processo de ponto de Poisson em algum espaço matemática subjacente, chamado de "espaço de estado"^[2]^[33] ou "espaço de transporte",^[34]^[35] então, o número de pontos em uma região limitada do espaço será uma variável aleatória de Poisson com um parâmetro cuja forma dependerá da configuração.^[2]

Segunda propriedade: independência total[editar | editar código-fonte]

A segunda propriedade chave é que, para uma coleção de disjuntos e sub-regiões delimitadas do espaço subjacente, o número de pontos em cada sub-região delimitada será totalmente independente de todos os outros. Esta propriedade é conhecida por vários nomes, tais como "completa aleatoriedade", "total independência",^[16] ou "espalhamento independente" ^[1]^[17]^[33] e é comum a todos os processos de Poisson. Em outras palavras, há uma ausência de interação entre as diferentes regiões e os pontos em geral,^[36] o que motiva o processo de Poisson a ser chamado muitas vezes de um processo aleatório "em partes" ou "completamente".^[16]

Definições distintas[editar | editar código-fonte]

O processo de Poisson é muitas vezes definido na linha real no ambiente homogêneo, e depois estendido para uma configuração mais geral, com mais rigor matemático.^[16]^[36] Para todas as instâncias do processo de Poisson, as duas propriedades-chave^{[nota 1]} da distribuição de Poisson e completa independência desempenham um papel importante.^[1]

Processo de ponto de Poisson homogêneo[editar | editar código-fonte]

Se um processo de Poisson tem um parâmetro constante, por exemplo,

\textstyle \lambda

, então é chamado de um processo de Poisson homogêneo ou estacionário. O parâmetro, chamado de "taxa" ou "intensidade", está relacionado com o número esperado (ou médio) de pontos existentes em alguma região limitada.^[2]^[17] De fato, o parâmetro

\textstyle \lambda

pode ser interpretado como o número médio de pontos por alguma unidade de medida, tais como comprimento, área, volume ou tempo, dependendo do espaço matemático subjacente; por isso é chamado às vezes de "densidade média";^[16] a extensão é às vezes chamado de "exposição".^[37]^[38]

Definição na linha real[editar | editar código-fonte]

Considerando dois números reais

\textstyle a

\textstyle b

, nos quais

\textstyle a\leq b

, e que pode representar pontos no tempo. Denote por

\textstyle N(a,b]

o número aleatório de pontos de um processo de Poisson homogêneo sair com valores superiores a

\textstyle a

mas menores ou iguais a

\textstyle b

, ou em outras palavras, o número de pontos do processo no intervalo

\textstyle (a,b]

. Se os pontos de ou pertencer a um processo de Poisson homogêneo com o parâmetro

\textstyle \lambda >0

, então a probabilidade de

\textstyle n

pontos existentes no intervalo dado

\textstyle (a,b]

é definido por:

P\{N(a,b]=n\}={\frac {[\lambda (b-a)]^{n}}{n!}}e^{-\lambda (b-a)},

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Em outras palavras,

\textstyle N(a,b]

é uma variável aleatória Poisson com média

\textstyle \lambda (b-a)

. Além disso, o número de pontos em quaisquer dois intervalos disjuntos, por exemplo,

\textstyle (a_{1},b_{1}]

\textstyle (a_{2},b_{2}]

são independentes um do outro, e isto estende-se a qualquer número finito de intervalos disjuntos.^[16] No contexto da teoria de filas, pode-se considerar um ponto existente (num intervalo) como um "evento", mas com um sentido diferente àquele da mesma palavra caso da probabilidade.^{[nota 2]} Segue que

\textstyle \lambda

é o número esperado de "chegadas" que ocorrem por unidade de tempo, e é às vezes chamado de "parâmetro da taxa".^[30]

Para uma definição mais formal de um processo estocástico, tal como um processo de ponto, pode-se usar o teorema de Kolmogorov, que diz essencialmente que um processo estocástico se caracteriza (ou é exclusivamente definido) por sua distribuição de dimensão finita, que nesse contexto dá a probabilidade conjunta de um determinado número de pontos existentes em cada intervalo finito disjuntos. Mais especificamente, tome que

\textstyle N(a_{i},b_{i}]

denota o número de pontos de (um processo de ponto) acontecendo no intervalo semi-aberto

\textstyle (a_{i},b_{i}]

, no qual os números reais

\textstyle a_{i}<b_{i}\leq a_{i+1}

. Então, por algum inteiro positivo

\textstyle k

, o processo homogêneo de Poisson na linha real com parâmetro

\textstyle \lambda >0

é definido com a distribuição de dimensão finita:^[16]

P\{N(a_{i},b_{i}]=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda (b_{i}-a_{i})},

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Propriedades-chave[editar | editar código-fonte]

A definição acima tem duas características importantes relacionadas com os processos de Poisson em geral:

o número de pontos em cada intervalo finito tem uma distribuição de Poisson;
o número de pontos em intervalos disjuntos são variáveis aleatórias independentes.

Além disso, há uma terceira característica relacionada apenas ao processo de Poisson homogêneo:

a distribuição de cada intervalo $\textstyle (a+t,b+t]$ depende apenas do comprimento do intervalo $\textstyle b-a$ .

Em outras palavras, para cada finito

\textstyle t>0

, a variável aleatória

\textstyle N(a+t,b+t]

é independente de

\textstyle t

,^[16] e, assim, o processo é um processo estacionário, e por isso às vezes é chamado de "processo de Poisson estacionário".

Lei dos grandes números[editar | editar código-fonte]

A quantidade

\textstyle \lambda (b_{i}-a_{i})

pode ser interpretada como uma média do número esperado de pontos que ocorrem no intervalo

\textstyle (a_{i},b_{i}]

, nomeadamente:

E\{N(a_{i},b_{i}]\}=\lambda (b_{i}-a_{i}),

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

no qual

\textstyle E

indica a expectativa do operador. Em outras palavras, o parâmetro

\textstyle \lambda

do processo de Poisson coincide com a densidade dos pontos. Além disso, o processo homogêneo de Poisson adere a sua própria forma da lei (forte) dos grandes números.^[2] Mais especificamente, com uma probabilidade:

\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {N(t)}{t}}=\lambda ,

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

no qual

\textstyle \lim

denota o limite de uma função.

Propriedade sem memória[editar | editar código-fonte]

A distância entre dois pontos consecutivos de um processo de ponto na linha real será uma variável aleatória exponencial com parâmetro

\textstyle \lambda

(ou equivalente, médio

\textstyle 1/\lambda

). Isto implica que os pontos têm uma propriedade sem memória: a existência de um ponto existente num intervalo finito não afeta a probabilidade (distribuição) de outros pontos existentes. Esta propriedade está diretamente relacionada à independência completa do processo de Poisson; no entanto, não tem equivalência natural quando o processo de Poisson é definido em dimensões superiores.^[2]

Regularidade e simplicidade[editar | editar código-fonte]

Um processo estocástico com incrementos estacionários às vezes é considerado "ordenado",^[39] "ordinário" ^[32] ou "regular" ^[30] se

P\{N(t,t+\delta ]>1\}=o(\delta ),

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

no qual a notação pequena-O é utilizada. Um ponto processo é chamado de "processo de ponto simples" quando a probabilidade de qualquer um de seus dois pontos coincidentes na mesma posição (na subjacente espaço de estado) é zero. Para processos de ponto, em geral, sobre a linha real, a (distribuição de probabilidade) de propriedade de ordem implica que o processo é simples ^[39] ou tem a (caminho de amostra) propriedade de "simplicidade",^[32] que é o caso para o processo homogêneo de Poisson.

Relação com outros processos[editar | editar código-fonte]

Na linha real, o processo de ponto de Poisson é um tipo de tempo-contínuo processo de Markov conhecido como um processo de nascimento-morte (com apenas nascimentos e zero mortes) e é chamado de "puro"^[30] ou processo de nascimento "simples".^[40] Processos mais complicados no âmbito da propriedade de Markov, como o processo de chegada de Markov, foram definidos onde o processo de Poisson é um caso especial.^[29]^[41]

Interpretação do processo de contagem[editar | editar código-fonte]

O processo de ponto de Poisson homogêneo, quando considerado na meia-linha positiva, é por vezes definido como uma [processo de contagem]], que pode ser denotado como

\textstyle \{N(t),t\geq 0\}

.^[29]^[30] Um processo de contagem representa o número total de ocorrências ou eventos que aconteceram até um determinado ponto, incluído

\textstyle t

. Um processo de contagem é um Poisson processo de contar com a taxa de

\textstyle \lambda >0

se ele tem as seguintes três propriedades:

$\textstyle N(0)=0$ ;
tem incrementos independentes; e
o número de eventos (ou pontos) num intervalo de comprimento $\textstyle t$ é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro (ou média) $\textstyle \lambda t$ .

A última propriedade implica

E[N(t)]=\lambda t.

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

O processo de contagem de Poisson também pode ser definido indicando que as diferenças de tempo entre eventos desses processo de contagem são variáveis exponenciais com média

\textstyle 1/\lambda

.^[29] As diferenças de tempo entre os eventos ou chegadas são conhecidos como "inter-chegadas"^[30]^[36] ou tempos de inter-ocorrências.^[29] Essas duas definições do processo de contagem Poisson concordam com a definição prévia do processo de Poisson.

Caracterização Martingale[editar | editar código-fonte]

Na linha real, o processo de Poisson homogêneo tem uma conexão com a teoria de Martingale, através da seguinte caracterização: um processo de ponto é o processo homogêneo de Poisson se e somente se

N(-\infty ,t]-t,

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

for um Martingale.^[42]

Restrita à meia-linha[editar | editar código-fonte]

Se o processo homogêneo de Poisson é considerado apenas na meia-linha

\textstyle [0,\infty )

, que é muitas vezes o caso quando

\textstyle t

representa o tempo, como se faz para o processo de contagem anterior,^[29]^[30] então o processo resultante não é verdadeiramente invariante sob tradução.^[2] Nesse caso, o processo é não estacionário, de acordo com algumas definições de estacionaridade.^[1]^[2]^[39]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Há muitas aplicações do processo homogêneo de Poisson na linha real, numa tentativa de modelar eventos que são aparentemente aleatórios e e que ocorrem de forma independente. Ele tem um papel fundamental na teoria das filas, que é o campo da probabilidade que desenvolve modelos estocásticos adequados para representar a chegada aleatória e de saída de certos fenômenos.^[11]^[29]^[30]^[36] Por exemplo, os clientes que chegam a um local e devem ser servidos ou as chamadas telefônicas que chegam a uma central podem ser ambos estudados com técnicas de teoria das filas. No artigo original que propõe o sistema de pagamento on-line conhecido como Bitcoin, apresentou um modelo matemático baseado em um processo homogêneo de Poisson.^[43]

Generalizações[editar | editar código-fonte]

O processo de contagem de Poisson ou, mais geralmente, o processo homogêneo de Poisson na reta real é considerado um dos mais simples processos estocásticos para a contagem de números aleatórios de pontos.^[39]^[44] O processo pode ser generalizado de várias maneiras. Uma generalização possível é a de estender a distribuição tempos de "inter-chegadas" a partir da distribuição exponencial para outras distribuições, o que introduz o processo estocástico conhecido como um processo de renovação. Outra generalização é defini-lo em espaços de dimensões superiores, como o plano.^[16]

Processo de ponto espacial Poisson[editar | editar código-fonte]

Um 'processo de Poisson espacial' é um processo de Poisson definido no plano

\textstyle {\textbf {R}}^{2}

.^[42]^[45] Para a sua definição, considere uma região limitada, aberta ou fechada (ou mais precisamente, mensurável Borel)

\textstyle B

do plano. Denotada por

\textstyle N(B)

o número (aleatória) de pontos de

\textstyle N

existente nesta região

\textstyle B\subset {\textbf {R}}^{2}

. Se os pontos de pertencer a um processo de Poisson homogêneo com o parâmetro

\textstyle \lambda >0

, então a probabilidade de

\textstyle n

pontos existirem em

\textstyle B

é dada por:

P\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

no qual

\textstyle |B|

denota a área de

\textstyle B

Mais formalmente, por algum algum inteiro finita

\textstyle k\geq 1

, considere um conjunto de disjuntos, delimitada Borel conjuntos (mensuráveis)

\textstyle B_{1},\dots ,B_{k}

. Deixe

\textstyle N(B_{i})

denotar o número de pontos existentes em

\textstyle B_{i}

. Então, o processo homogêneo de Poisson com parâmetro

\textstyle \lambda >0

tem a distribuição de dimensão finita ^[16]

P\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

sábado, 8 de fevereiro de 2020

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

História[editar | editar código-fonte]

Distribuição de Poisson[editar | editar código-fonte]

Descoberta[editar | editar código-fonte]

Primeiras aplicações[editar | editar código-fonte]

História do termo[editar | editar código-fonte]

Visão geral de definições[editar | editar código-fonte]

Primeira propriedade: Distribuição do número de pontos[editar | editar código-fonte]

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Segunda propriedade: independência total[editar | editar código-fonte]

Definições distintas[editar | editar código-fonte]

Processo de ponto de Poisson homogêneo[editar | editar código-fonte]

Definição na linha real[editar | editar código-fonte]

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Propriedades-chave[editar | editar código-fonte]

Lei dos grandes números[editar | editar código-fonte]

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Propriedade sem memória[editar | editar código-fonte]

Regularidade e simplicidade[editar | editar código-fonte]

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Relação com outros processos[editar | editar código-fonte]

Interpretação do processo de contagem[editar | editar código-fonte]

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Caracterização Martingale[editar | editar código-fonte]

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Restrita à meia-linha[editar | editar código-fonte]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Generalizações[editar | editar código-fonte]

Processo de ponto espacial Poisson[editar | editar código-fonte]

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